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Punto simétrico

Publicado por Laura

Hoy continuamos con un nuevo concepto geométrico: el punto simétrico. Vamos a calcular como hallar el punto simétrico respecto a las diferentes variedades afines: otro punto, un plano y una recta.

PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO DE UN PUNTO
El punto simétrico A’ de un punto A respecto de otro punto M, será el punto tal que la distancia del punto A al punto M es igual a la distancia del punto A’ al punto M, es decir, d (A,M)= d (A’,M). Por tanto, podemos decir que el punto M es el punto medio del segmento AA’.

Ejemplo: Hallar el punto simétrico de A(2,3) respecto al punto (-1,2).
Tenemos que hallar el punto A’ tal que el punto M(-1,2) sea el punto medio de AA’.
Recordemos que para calcular el punto medio entre dos puntos P(a,b) y P'(a’,b’) utilizamos la siguiente fórmula: M=(a+a’/2, b+b’/2), por tanto tenemos la siguiente igualdad: (-1,2)=(2+a’/2, 3+b’/2).
Igualando coordenada a coordenada hallamos el valor de a’ y el valor de b’, las coordenadas de nuestro punto:
-1= (2+a’)/2 → -2=2+a’ → a’=-4
2 = (3+b’)/2 →4 = 3+b’→b’=1
Por tanto el punto de simétrico que nos piden es el punto A'(-4,1).

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PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO UN PLANO
El punto simétrico P’ de un punto P respecto a un plano π es el punto situado en la recta perpendicular al plano que pasa por P, tal que la distancia del punto P al plano es la misma que la distancia del punto A’ al plano: d ( π ,P)= d ( π ,P’).
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Para hallar el punto simétrico respecto al plano procederemos de la siguiente manera:
1º) Hallamos la recta perpendicular r perpendicular al plano que pasa por P. Por tanto, tendrá como vector director el vector normal al plano.
2º) Una vez hallada la ecuación de la recta, calculamos el punto de intersección entre el plano dado y la recta obtenida en el primer paso. Este punto será M.
3º) Por último, procedemos igual que en el primer caso, cuando se trataba de buscar el simétrico de un punto respecto del punto M.
Ejemplo: Hallar el punto simétrico del punto P(-1,3,4) respecto al plano π: x-3y-2z+4=0.
Siguiendo los pasos que acabamos de decir:
1º. Hallamos r que pasa por el punto P y tiene como vector director v=(1,-3,-2):
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2º. Hallamos el punto de intersección entre el plano y la recta. Para ellos sustituimos el valor de x, y, y z en la ecuación del plano, obteniendo el valor de t. Por último, sustituimos el valor de t en las ecuaciones paramétricas de la recta y obtenemos las coordenadas del punto M:
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3º. Procediendo como en el ejemplo anterior tenemos que: (3/2, ½,2)=(-1+a’/2, 3+b’/2,4+c’/2)
3/2=(-1+a’)/2 → 3=-1+a’→a’=4
1/2=(3+b’)/2 → 1=3+b’→ b’=-2
2=(4+c’)/2 → 4=4+c’ →c’=0.
El punto simétrico P'(4,-2,0)

PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO UNA RECTA
El punto simétrico P’ de un punto P respecto a una recta r, es el punto que se encuentra situado en la recta perpendicular a r que pasa por P, tal que la distancia del punto P a la recta es igual a la distancia del punto P’ a la recta, es decir: d(P,r)=d(P’,r).
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Para hallar el punto simétrico respecto a una recta seguimos los siguientes pasos:
1º) Hallamos el plano perpendicular a r que contiene a P, para hacerlo utilizamos el vector director de la recta, que será el vector normal del plano.
2º) Hallamos el punto de corte de la recta y el plano calculado en el paso anterior, M.
3º) Por último, repetimos el mismo paso que en el caso anterior.

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