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Posiciones relativas de planos

Publicado por Laura

Vamos a estudiar hoy las distintas posiciones en las que podemos encontrar los planos en el espacio. Para ello, vamos a distinguir en primer lugar las posiciones relativas de dos planos, y a continuación, pasaremos a ampliar nuestro conjunto de planos a tres.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Para estudiar la posición relativas de dos planos, vamos a separar en dos casos dependiendo de los datos que conozcamos a partir de las ecuaciones (aunque ya sabemos que de todas formas siempre podemos aprendernos un único método y pasar siempre a la ecuación del plano deseada).

posic_relativa_2_planos

Caso a: Si conocemos de cada plano un punto y los dos vectores directores.
Dadas las ecuaciones de los planos en forma vectorial, paramétrica o en forma de determinante, podemos determinar un punto y dos vectores. Sea el plano π determinado por el punto P y los vectores u y v, es decir, π:{P, u, v} y el plano π’:{Q,u’,v’}.
Para conocer las posiciones relativas, estudiaremos los rangos de las matrices formadas por los vectores {u,v,u’,v’,PQ}. Recordemos que el rang{u,v}=rang{u’,v’}=2. Entonces, pueden darse los siguientes casos:
1. rang{u,v,u’,v’}=rang{u,v,u’,v’,PQ}=2, entonces los planos son coincidentes.
2. rang{u,v,u’,v’}=2 y rang{u,v,u’,v’,PQ}=3, entonces los planos son paralelos.
3. rang{u,v,u’,v’}=rang{u,v,u’,v’,PQ}=3, entonces los planos se cortan en una recta.

Observación: No tiene sentido considerar que el rango sea 4 ya que en el espacio el máximo rango es 3.

Caso b: Si los planos vienen dados por sus ecuaciones implícitas.
Sean π: Ax+By+Cz+D=0 y π’=A’x+B’y+C’z+D’=0. Para determinar las posiciones relativas de los dos planos consideraremos el sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas formado por las dos ecuaciones, y estudiaremos el rango de la matriz de los coeficientes (A) y de su matriz ampliada (A|B).
1. Si rang(A)=rang(A|B)=1, entonces los planos son coincidentes.
2. Si rang(A)= 1 y rang(A|B)=2, entonces los planos son paralelos.
3. Si rang(A)=rang(A|B)=2, entonces los planos se cortan en una recta.

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Para estudiar la posición relativa de tres planos nos vamos a centrar en único caso, cuando los planos vienen dados en sus ecuaciones implícitas. Por tanto, sean los planos π: Ax+By+Cz+D=0, π’=A’x+B’y+C’z+D’=0 y π”=A”x+B”y+C”z+D”=0, consideraremos el sistema formado por las tres ecuaciones y estudiaremos el rango de la matriz de los coeficientes (A) y el de su matriz ampliada (A|B) para determinar las posiciones relativas.
1. Si rang(A)=rang(A|B)=1, entonces los planos son coincidentes.
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2. Si rang(A)=1 y rang(A|B)=2, entonces pueden darse dos casos:
a) Si no hay dos filas que sean proporcionales: los tres planos son paralelos.
b) Si hay una fila que sea proporcional a otra, entonces dos planos son coincidentes y el tercero paralelo.
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3. Si rang(A)=rang(A|B)=2, también pueden darse dos casos:
a) Si no hay dos filas proporcionales: los tres planos se cortan en una recta común.
b) Si hay una fila proporcional a otra: dos planos son coincidentes y el tercero corta en una recta.
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4. Si rang(A)=2 y rang(A|B)=3, una vez más tenemos dos casos:
a) Si no hay filas proporcionales: los tres planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas entre sí.
b) Si hay una fila proporcional a otra: dos planos son paralelos y el tercero los corta en dos rectas paralelas.
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5. Si rang(A)=rang(A|B)=3, entonces se cortan en un punto.
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