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Método de Newton-Raphson

Publicado por Eduardo

Este método se utiliza para encontrar aproximaciones que converjan hacia la raíz que buscamos, por medio de iteraciones, que no es otra cosa que comenzar con un valor cercano a cero, y después ir hallando las rectas tangentes a la función que se nos plantea, hasta que encontremos uno que se aproxime lo suficiente a la raíz.

 

Veámoslo en un gráfico:

>> Pensemos en una función f(x) y queremos hallar su raíz. Para ello, escogemos un valor x2, cercano a la raíz de la función, y trazamos una recta tangente que pasará por el punto x2, f(x2). Ese punto, nos dará un nuevo valor x2, que es más cercano a la raíz que queremos calcular.

 

Ahora nos preguntamos, vale, pero, ¿Cómo hallo x2? No es problema, gracias a la ecuación punto pendiente:

Para que x2 sea una raíz de f(x), f(x2) tendrá que ser igual a 0, si os confunde esto, sustituid f(x2) por “y”; el enunciado quiere decir, hacemos y=0 para poder hallar x2:

Ahora tomamos “m” como f´(x2), pues al ser la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x2, f(x2) nos dará una mejor aproximación:

Despejamos x2:

Si queremos generalizar, nos quedará:

La ecuación resultante en la que se conoce como Ecuación Newton-Raphson.

Ejemplo:

>> Aplicando el método de Newton-Raphson, encontrar una raíz próxima a para la ecuación:


Redondear los cálculos a 5 cifras significativas e iterar hasta que se cumpla


Primero hemos aplicado el Teorema de Bolzano, que si bien, no está directamente relacionado, nos permite comprobar que dicha función existe y es continua en el intervalo [0,1]. Por motivos organizativos, lo dejaremos sin desarrollar, pues ya se hablará de él en otro artículo más extensamente.

Recordamos la fórmula de Newton-Raphson:

Necesitamos la primera derivada, pasamos a calcularla:

Sustituimos en la fórmula anterior:

**Pista: Recordad que sin0=1

 

El dato de referencia(x0) lo elegimos nosotros, con lo cual tomamos x0=0, quedándonos x1=1/3 , x2=0,360170714 y x3=0,36042168 como iteraciones.

Cumplimos la condición del problema ya que:

Vemos como quedan las aproximaciones que hemos calculado:

Que son esas dos rectas tangentes que vemos en la gráfica:

 

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