Logaritmo discreto
Los Logaritmos discretos son el grupo teórico análogo del logaritmo ordinario. Este tipo de logaritmos son aquellos que de x en base a a módulo n para a resolver la ecuación x=ay mod n donde x, n y a son constantes e y es la incógnita. La aritmética modular es un sistema de aritmética usado para diferentes clases de equivalencia de números enteros, llamados clases de congruencia. Un logaritmo ordinario es una solución de la ecuación, ax = b sobre los números complejos. De otro forma podemos como ejemplo una ecuación gx = h como logaritmo discreto a la base g de h en el grupo G. Pero si g y h son los elementos de un grupo cíclico finito G es entonces una solución x.
Una definición más rígida sería la siguiente:
Sea G, un grupo cíclico finito con n elementos, entonces G={e,g,g2,…,gn-1}.
Como ya hemos dicho que G es cíclico, sabemos que :
De esta forma definimos lo siguiente:
Esto último como la función que establece valores de la siguiente manera:
Podemos ver entonces la gran similitud de esto con la del logaritmo ordinario que ya hemos visto. El uso de aritmética modular introduce una importante complejidad al problema, por esta razón el logaritmo discreto se utiliza en la criptografía, que es una ciencia que se encarga de cifrar o descifrar información con el uso de herramientas matemáticas que hagan posible el intercambio de mensajes de forma que puedan ser leídos únicamente por las personas a quienes van dirigidos.
Para computar y resolver logaritmos discretos se utilizan los algoritmos que en informática y matemática son un conjunto finito de instrucciones utilizadas para llevar a cabo una tarea o actividad que no genere dudas a quien lo ejecute. Ningún algoritmo eficiente para computar logaritmos discretos en general, se conoce. Existen algoritmos sumamente sofisticados que tienen como inspiración a los algoritmos similares para la factorización de un número entero.
Hay populares opciones para criptografía discreta del logaritmo. Por ejemplo El sistema del cifrado y descifrado ELGamal que está basado en problemas matemáticos de logaritmos discretos. Otro de los sistemas usados es el de Diffie-Hellman . De forma sencilla diremos que este último permite el intercambio de claves entre dos partes que no han tenido previo contacto, utilizando así un canal inseguro de forma no autenticada. Otro de ellos es el algoritmo de la firma digital, este hace referencia en la transmisión de mensajes y en la gestión de documentos electrónicos, con este método se asegura la integridad de los documentos o mensajes.
Además de su uso en criptografía, los logaritmos discretos también tienen aplicaciones en otras áreas de la matemática y la informática. Por ejemplo, se utilizan en la teoría de números, en la teoría de códigos, en la teoría de grafos y en la teoría de la computación. En todas estas áreas, los logaritmos discretos proporcionan una herramienta valiosa para resolver problemas complejos.
En la teoría de números, los logaritmos discretos se utilizan para resolver ecuaciones diofánticas, que son ecuaciones que buscan soluciones en los números enteros. En la teoría de códigos, se utilizan para diseñar códigos correctores de errores, que son esenciales para la transmisión de datos en redes de comunicación. En la teoría de grafos, se utilizan para resolver problemas de camino más corto y de flujo máximo. Y en la teoría de la computación, se utilizan para resolver problemas de complejidad computacional.
Por último, es importante mencionar que los logaritmos discretos también tienen aplicaciones en la física y la ingeniería. En la física, se utilizan en la teoría de la información cuántica, que es una rama de la física que estudia cómo la información puede ser procesada y transmitida utilizando sistemas cuánticos. En la ingeniería, se utilizan en el diseño de sistemas de comunicación y de seguridad informática.
En resumen, los logaritmos discretos son una herramienta matemática de gran utilidad que tiene aplicaciones en una amplia variedad de campos. A pesar de su complejidad, su estudio y comprensión son esenciales para avanzar en muchas áreas de la ciencia y la tecnología.
