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Función error

Publicado por Eduardo

La función error, también denominada como función error de Gauss, es una función que podemos encontrar en distintos campos como: estadística, probabilidad (la famosa campana de Gauss) y las ecuaciones diferenciales parciales (cuyas aplicaciones son tan variopintas como el cálculo de la difusión de la sal en agua). La expresión es la siguiente:


 

Propiedades

1) Es una función impar, es decir, no-simétrica:

2) Para todo número complejo, se verifica que:

Siendo x* el conjugado de x, es decir:

x= a + bi

x*=a – bi

3) Hay casos, en los que nos encontramos con funciones difíciles de integrar, como e^(-t2), que no se puede hacer de forma directa. En esos casos debemos usar una expansión de la función, por medio de una serie de Taylor, obtendremos, como es lógico, la serie de Taylor de la función error:

4) Existe una relación simple entre la Función Error y la Función Distribución para una variable aleatoria (con media “μ” y desviación típica “σ”):

Un uso de esta función, se da cuando, teniendo una distribución normal (desviación típica σ y esperanza 0), entonces:

Que es la probabilidad de que el error de una mediación individual se encuentre comprendido en el intervalo –x y +x.

>>Ejemplo:

Según un estudio, la altura de los varones de cierta ciudad es una variable aleatoria X, que podemos considerar que se distribuye según una Ley Gaussiana de valor esperado μ=175cm y desviación típica σ = 10cm. Dar un intervalo para el que tengamos asegurado que el 50% de los habitantes de la ciudad estén comprendidos en él.

 

Solución:

Tenemos que

Lo que buscamos es el intervalo que nos asegure que el 50% de los habitantes tengan alturas comprendidas en el. Debemos encontrar un intervalo que esté centrado en la media, y que, además, sea el más pequeño posible (y contenga al mencionado 50% de la muestra).

Como se distribuye según las leyes gaussianas, la probabilidad estará concentrada en su mayor parte en la media. Entonces, tomaremos un intervalo que contenga un 25% de probabilidad del lado izquierdo más próximo a la media y un 25% del lado derecho, quedando una figura así:

 


 

 

Estos valores se pueden buscar en una tabla de distribución normal, tipificándolos primero, para volver a destipificarlos después

 

 

donde

 

 

Buscamos el valor en tabla, z0,75 , y se destipifica:

 

Similarmente se calcularía

 

donde

 

 

Por la simetría de la distribución normal con respecto al origen, tenemos que z0,25= – z0,75. Entonces:

En conclusión:

 

El 50% de la población tiene un peso comprendido en el intervalo [168,25,181,75], que es simétrico respecto a la media, y es el más pequeño de todos los posibles (es más preciso).

 

  
 

 

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