Función compuesta

Vamos a estudiar un nuevo concepto del Análisis Matemático: la función compuesta.

Una función compuesta es una función que está formada por la composición de dos funciones, es decir, la función resultante de aplicar a x una función en primer lugar y a continuación a este resultado le aplicamos una nueva función.

La forma en que denotamos la función compuesta es un pequeño círculo entre las dos funciones o g(f(x)), que quiere decir que en primer lugar se aplica la función f, y al resultado la función g.

DEFINICIÓN

Definición formal: Dadas dos función f y g, tales que f: X → Y y g: Y → Z, donde es necesario que la imagen de f esté contenida en el dominio de g, se define la función compuesta de f y g : g(f(x)) ( tened mucho cuidado ya que para leerlo o nombrarlo se hace al revés de como se escribe ) como (g∘ f)(x)=g(f(x)), para todo x perteneciente a X. Lo podemos representar como:

Hay que señalar que la función compuesta definida de esta forma está bien definida ya que cumple las dos condiciones necesarias: la de existencia y la de unicidad.

-Condición de existencia: Para todo valor de x del dominio de f podemos halla (x,f(x)), y para cualquier elemento y=f(x) del dominio de g podemos halla (y,g(y))=(f(x),g(f(x))). Por lo tanto, podemos decir que g(f(x) cumple la condición de existencia. Veamos ahora que pasa con la condición de unicidad.

-Condición de unicidad: Como tanto f como g son funciones que están bien definidas, para cada valor de x existe un único valor f(x) (ya que en caso contrario no sería una función), y para cada f(x) también existe un único valor de g(f(x)).

Con lo cual queda demostrado que la función compuesta está bien definida.

Por ejemplo, sea f(x)=3x-1 y g(x)=1/x, entonces g(f(x))=1/(3x-1).

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

1. La función compuesta cumple la propiedad asociativa: h∘ (g∘ f)= (h∘ g)∘ f

2. La función compuesta no es conmutativa: (g∘ f) ≠ (f∘ g)

3. Tiene elemento neutro que es la función identidad I(x)=x: (I∘ g)=(g∘ I)=g

4. La composición de una función con su inversa nos da la función identidad, es decir, existe elemento simétrico, el cual es la función inversa:

5. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:

6. Si f es derivable en x y g es a su vez derivable en f(x), entonteces existe la derivada de la función compuesta y se calcula utilizando la conocida regla de la cadena:

(g∘ f)´(x)=g´(f(x))f´(x)

Por último, vamos a realizar un ejercicio en el que veremos algunas de las propiedades mencionadas anteriormente:

Ejemplo: Dadas las siguientes funciones f(x)=2x+9 y g(x)=1- 3/x, realizar las siguientes composiciones indicadas:

a) Hallar (g∘ f).

b) Hallar (f∘ g). ¿Qué podemos decir en relación al apartado anterior?

c) Sabiendo que la inversa de f es (x-9)/2, comprobar que se cumple la propiedad número 4.

a) En primer lugar nos están pidiendo la composición de f y g (recordad que se tenía que leer al revés)

(g∘ f)(x)=g(f(x))=g(2x+9)=1-3/(2x+9)

Como podéis observar, en primer lugar sustituimos el valor de f(x), y a continuación, hemos sustituido el valor de x en la función g por el valor de f(x).

b) Siguiendo el mismo procedimiento calculamos ahora g compuesto con f:

(f∘ g)(x)=f(g(x))=f(1-3/x)=2(1-3/x)+9=2-6/x+9=11-6/x

Como podemos ver, es distinta a la calculada en el apartado a, como era de esperar, ya que no son conmutativas.

c) Calculamos ahora la composición de f con su inversa: