Elemento neutro

El elemento neutro puede ser llamado también elemento identidad y se aplica a las operaciones binaria internas (Una operación binaria interna, también es llamada ley de composición interna, es una aplicación de A x A en A. La función multiplicación es una operación binaria interna. La función división no es una operación binaria interna ya que en esta se obtienen números que no pertenecen al conjunto de los números naturales. Las operaciones binarias corresponden solo a la suma y la multiplicación). El término de identidad se utiliza minoritariamente. El elemento neutro de una operación es entonces un número que operado con cualquier otro número no lo altera.

Podemos definir el elemento neutro de la siguiente forma:

Para todo Y, N * Y = Y y Y * N = Y el elemento N es un «elemento neutro» puesto que si es aplicado a la izquierda o aplicado a la derecha del otro operando, no se altera el valor de Y;

Para todo Y, N * Y = Y, N es un «elemento neutro a la izquierda»;

Para todo Y, Y * N = Y, N es un «elemento neutro a la derecha»;

Para todo Y, N * Y = Y, pero existe también alguna X para el cual X * N ≠ X: el elemento es dicho «elemento neutro a la izquierda» o, podemos decir, «elemento neutro a la izquierda sólo», ya que sólo operado a la izquierda se ve inalterado el otro operando. Operando a la derecha se produciría una alteración.

Para todo Y, Y * N = Y, pero existe alguna X para el cual N * X ≠ X: el elemento es dicho «elemento neutro a la derecha, o, «elemento neutro a la derecha sólo», pues sólo operado a la derecha se ve inalterado el otro operando. Operado a la izquierda causaría alteración.

Veamos algunos ejemplos

Elemento neutro de la suma

El 0 es el elemento neutro de la suma ya que todo número sumado con él da el mismo número. Veamos:

a + 0 = a
5 + 0 = 5

Podemos llamar a este caso, identidad aditiva.

Elemento neutro de la multiplicación

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, ya que todo número multiplicado por él da el mismo número.

a • 1 = a
5 • 1 = 5

Esta sería la identidad multiplicativa