Álgebra de operadores
El álgebra de operadores está basada en el estudio de los operadores. En términos matemáticos, un operador puede considerarse un símbolo o notación abreviada de un conjunto definido, no vacío, de operaciones o de acciones a realizar con o sobre un término denominado operando, el cual se escribe a la derecha y que da como resultado otro «objeto» de igual o diferente naturaleza. A esta acción la denominamos operación. Un ejemplo de esto sería que el operador derivado, actúe sobre una función f(x) que se escriba a la derecha, produciendo de este modo una nueva función de x.
Entonces si definimos un espacio n – dimensional euclídeo y los vectores como funciones capaces de expresarlo necesitaremos trabajar con tales vectores para poder así modelar teóricamente los fenómenos de la cuantización la cual es un procedimiento matemático que construye un modelo cuántico para un sistema físico. Los operadores (de operar, trabajar, laborar, funcionar) son los elementos que nos servirán para dichos fines.
Las álgebras de operadores se estudian en varios contextos, como por ejemplo, las álgebras de operadores del pseudo-diferencial actuando en espacios de distribuciones. El término álgebra del operador es utilizado también en referencia a las álgebras de operadores limitados en un espacio de Banach o, más fundamentalmente en referencia a las álgebras de operadores en un separable espacio de Hilbert.
Un operador pseudo-diferencial es una generalización del concepto de operador diferencial. Es de esta forma una parte fundamental de la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales. Una ecuación diferencial parcial se trata de una ecuación que envuelve una función incógnita de diversas variables independientes y sus derivadas. El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales es una de las áreas con más investigación en matemática.
Un espacio de Banach es un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos con una norma ||•|| tal que toda sucesión de Cauchy (o sea una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión) con respecto a la métrica d(x, y) = ||x – y|| en V tiene un límite determinado en V.
El concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas adaptables a espacios de dimensión dos y tres se desarrollen hacia espacios de dimensión arbitraria, envolviendo los espacios de dimensión infinita. Ejemplos de tales nociones y técnicas son la de ángulo entre vectores o el teorema de Pitágoras. El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático David Hilbert quien los utilizó por primera vez en el estudio de las ecuaciones integrales.
