Álgebra de Lie

La denominación «álgebra de Lie» hace referencia al matemático noruego Marius Sophus Lie (1842-1899) quien descubrió este tipo de álgebra y en principio la denominó «Grupos continuos de transformación. Luego el matemático alemán, Hermann Weyl (1855-1955) le dió el nombre de «Álgebra De Lie»

Un álgebra de Lie es una forma de distibución o estructura algebraica que se encarga de describir un conjunto de transformaciones o evoluciones infinitesimales. La utilización de más importancia de este tipo de álgebra es el estudio y análisis de objetos dentro de la geometría, como los grupos de Lie o también las variedades diferenciables.

Las nociones del algebra de Lie surgen a partir de espacios vectoriales de transformaciones lineales los cuales se unen a un producto nuevo:

(Con el producto habitual de transformaciones lineales del lado derecho) frecuentemente no es no cumple con la propiedad conmutativa ni con la asociativa. Definiremos ahora estos conceptos de manera sencilla.

Sea K un anillo conmutativo con unidad definiremos álgebra de la siguiente forma:

Un k-módulo A corresponde a un álgebra que se encuentra en K si viene dada con una aplicación K-bilineal que se denomina corchete de Lie,

Esta forma de aplicación o producto no es asociativa forzosamente. La definición que hemos visto corresponde al enunciado que veremos ahora:

Un espacio vectorial A relacionado a un cuerpo K corresponde a un álgebra únicamente si posee un producto como,

Veamos algunos ejemplos:

• Un espacio de matrices (M(n, K),+, .) con la suma y el producto habitual corresponde a un algebra que cumple con la propiedad asociativa ni conmutativa.

• Un espacio de matrices (M(n,K),+, [,]) con la suma y el producto que se encuentra definido por [x,y]=xy-yx es un algebra que no cumple ni con la conmutatividad ni con la asociatividad.

Cuando un álgebra de Lie A es una forma de espacio vectorial que e relaciona con determinado cuerpo F contiguo a una operación de dos elementos, es decir binaria [., .] : A × A -> A cumplirá con las siguientes propiedades (no vamos a ver la totalidad de las prpiedades, pero si aquellas que necesitemos aplicar)

• Es bilineal, es decir, [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] y [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en F y todo x, y, z en A.

• Cumple con la identidad de Jacobi, o sea, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en A.

• [x, y] = – [y, x] para todo x, y en A(Producto antisimétrico)

Ejemplos

• Cada espacio vectorial se puede convertir en un álgebra de Lie abeliana trivial si se define el corchete de Lie como igualdad a cero.

• Si se da un álgebra asociativa A con la multiplicación * , se puede dar un álgebra de Lie definiendo [x, y] = x * y − y * x. esta expresión se llama conmutador de x e y.

• De forma inversa se puede demostrar que cada álgebra de Lie puede sumergirse en otra que se origine a partir de un álgebra asociativa.

• Dentro de la topología diferencial: los campos vectoriales en una variedad diferenciable establecen un álgebra de Lie de dimension infinita. Dichos campos actúan como operadores diferenciales sobre las funciones diferenciables sobre la variedad. Dados dos campos vectoriales X e Y, el corchete de Lie [X, Y] se define como:

[X, Y] f = (XY − YX) f

Debemos saber como comprobar que el operador es correspondiente a un campo vectorial.

• En caso de que una variedad corresponda a un grupo de Lie G a y a su vez un subespacio de los campos vectoriales, quedará intacto por las transformaciones dadas por el propio grupo, esto quiere decir que en cada punto g del mismo, el campo sería el siguiente:

X(g) = dlg(X(e))

El subespacio es de una dimensión finita ya que es correspondiente al espacio tangente (conjunto que se asocia a cada punto de una variedad diferenciable el cual se forma por la totalidad de los vectores tangentes a dicho punto, un espacio vectorial de igual dimensión que la dimensión de la variedad) dentro de la identidad. También obtiene la estructura de álgebra de Lie que se encuentra definida en el punto anterior, y es denominada álgebra de Lie asociada al grupo G.

• Para tener ejemplo mas claro, consideremos el grupo de Lie SL(n, R) de todas las matrices nxn con valores reales y determinante 1. El espacio tangente en la matriz identidad puede ser identificado con el espacio de la totalidad de las matrices reales nxn con traza 0 y con la estructura del álgebra de Lie que parte del grupo de Lie y que también conincide con el que parte del conmutador del producto de matrices.