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Álgebra de conjuntos

Publicado por Victoria Pérez

El álgebra de conjuntos se encarga de definir las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar a los conjuntos. Podemos decir que un conjunto es una agrupación, variedad, clase o colección de objetos que se denominan elementos del conjunto. Si utilizamos símbolos como S podemos ver representado que otro elemento “a” pertenezca o está contenido en el conjunto S, o lo que es igual, el conjunto S contendrá al elemento a. Un conjunto S se define si dado un objeto a, se sabe con seguridad que o a ε S o a ε/ S (esto significa que, a no pertenece a S). Un conjunto se representa habitualmente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa.

Los diferentes tipos de conjuntos que podemos encontrar son los siguientes:

A un conjunto, cualquiera sea lo nombraremos con una letra mayúscula.

El Conjunto universal es aquel que contiene a todos los conjuntos de los que estemos relacionando, lo designaremos con la letra u mayúscula.

El elemento de un conjunto, es un objeto Individual que forma parte de ese conjunto. α∈A.

Dos conjuntos son iguales si están formados por los mismos elementos.

El conjunto vacío es aquel que no tiene ningún elemento, lo nombraremos con el siguiente símbolo ø . Estamos evidentemente de acuerdo en que si no contiene ningún elemento, no tenemos un conjunto, sin embargo la definición de conjunto vacío o nulo como tal es sumamente útil.

Dado un conjunto A, se llama complementario del mismo, y se representa por Ac, al conjunto que se forma por los elementos del universo que no son de A.

Se dice que B es subconjunto de A, y se representa B ⊂ A , si todos los elementos de B pertenecen a A. Diremos también que B se incluye en A.

Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se representa A ∪ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.

Se llama intersección y se representa A ∩ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

Si dos conjuntos no tienen elementos comunes, se llaman disjuntos y su intersección es el conjunto vacío.

Veamos a continuación un ejemplo un ejemplo más claro:

La unión de los conjuntos (A U B) es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A a B o a ambos.

La intersección de conjuntos representada como (A ∩ B) es el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al B.

El complemento de un conjunto Ac es el conjunto que se forma por los elementos no pertenecientes a A.

Podemos observar también, la diferencia de conjuntos de complemento relativo (A-B) la diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez B.

Veremos a continuación una tabla con las propiedades del álgebra de conjuntos el la cual podemos observar algunas conocidas propiedades tales, como la distributiva. Asociativa y conmutativa:

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