Los polinomios ortogonales son una clase de polinomios que forman una base ortogonal en el espacio de Hilbert (que no es más que una generalización del espacio euclídeo). Aparecen sobretodo en la teoría de ecuaciones diferenciales y en la mecánica cuántica. Veamos la definición exacta de estos polinomios:

Un conjunto de polinomios de orden n, definidos en un determinado intervalo a ≤ x ≤ b, los cuales son ortogonales respecto a una definición de producto interno:

Con w(x)>0 una función de peso en a ≤ x ≤b, que garantiza que la norma sea finita en ese intervalo.

A continuación os dejo un cuadro con las propiedades generales de los polinomios ortogonales, en donde a y b son los límites del intervalo, mientras que Nn indica la norma del polinomio de grado n, siendo w(x) la función de peso, como indicamos anteriormente.

Estos polinomios son conocidos como los “polinomios ortogonales clásicos”, y la diferencia con los demás tipos son las siguientes:

A) Para definir los polinomios ortogonales, usamos la fórmula de Rodrigues generalizada:

en donde w(x), q y nu vienen detalladas en el cuadro de abajo (y son fijos para cada polinomio ortogonal):

Comentar además que, w(x) es una variable no negativa, e integrable en cierto intervalo de la recta real y p(x) es un polinomio independiente de n, de grado a lo sumo 2.

A continuación os dejo otro cuadro con ejemplos de cómo resolver polinomios ortogonales con la formula antes mencionada.

Para resolverlos simplemente tendríamos que sustituir el valor de “n” en la función, considerando el peso y la norma.

B) La última propiedad que diferencia a éstos polinomios de los otros, es que constituyen soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden, del tipo:

donde alfa y beta son polinomios fijos para cada familia, independientes de n y con grados respectivos dos y uno. El enésimo polinomio es la solución de la ecuación con el correspondiente valor de γn.

Con esto nos despedimos, sígannos visitando en laguia2000 para aprender más cosas sobre el mundo de las matemáticas.

El sumatorio no es más que una operación de suma repetida desde “n” veces (siendo n el número de sumandos) hasta infinito. Tiene muchas aplicaciones, tanto en estadística (para hallar la media, etc.) como en las series de números e incluso en integrales.

Se representa con la letra griega Σ, y se puede definir de la siguiente manera:

La variable i se llama índice de la suma, que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza), mientras que n es el límite superior, que es hasta donde va a llegar dicha suma. Además, se tiene que cumplir que m≤n

Los sumatorios tienen unas reglas, que han de cumplirse, a la hora de realizar las operaciones. A continuación las citamos:

Regla 1: El sumatorio de una suma, es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

Es decir, que es lo mismo sumar primero los términos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio, que realizarlo por separado, para cada uno de los términos.

Regla 2: La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.

Dicho de otra forma, que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio, podemos sacarla para fuera (como si hiciésemos factor común, que en realidad, lo es).

Regla 3: El sumatorio de n veces una constante, es igual a N veces esa constante.

Si K es 3, sumar 3 20 veces, es lo mismo que multiplicar 3×20.

Regla 4: El sumatorio de un producto, no es igual al producto de los sumatorios de cada término.

Regla 5: El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable, no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado.

Por ejemplo, no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado, que nos daría: 25.

>>Ejemplo:

**Calcular la suma de los números impares, que se encuentran entre 14 y 4492.

Podríamos resolver este ejercicio de la forma normal, sin sumatorios, pero, es muy engorroso, pues habrá muchos números que sumar.

En lugar de eso, vamos a proceder de la siguiente forma, con sumatorios, primero planteemos la suma:

Como veis son muchísimos los impares existentes desde 15, que es el primero hasta 4491, que es el último.

Esa suma la podemos escribir también de la siguiente forma:

Explicación: Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie, y queremos sacar la expresión general de ésta. En este caso, para representar todos los números impares, escribimos 2k-1.

Los límites que hemos escogido para el sumatorio, son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente. Esto se hace así para que nos cuadre el resultado. Por ejemplo, veis que para k=8, si sustituimos en (2k-1)^2, nos quedaría: (2×8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2, y así sucesivamente para los demás números.

Una vez comprendido lo anterior, vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior:

En este paso, hemos separado el sumatorio en varios, aplicando la “regla 1″, y a continuación sacamos las constantes para fuera (aplicando la “regla 2″).

Aquí de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondré a continuación. Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios, por lógica, se nos ocurriría sacar factor común de esos 2 sumatorios, pero hay un problema, el 1 se nos queda suelto, por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares. para ello, hacemos un pequeño truco: cambiamos los límites del sumatorio, quedándonos esto:

Ahora sí que podemos resolver los sumatorios uno por uno, para hallar nuestro resultado:

**Nota** :Acordaos que siempre se empieza por el subíndice más pequeño (el de abajo del sumatorio, en este caso, el 1 y el 8), y a continuación se ponen los demás. Como es potencia, han de ir todos multiplicando.

**Nota 2**: Para hallar el 1/6 y 1/2 se ha usado las formulas de sucesiones aritméticas, mencionadas en otro apartado.

Volvemos esta vez en la guía matemática con las identidades trigonométricas. Esta vez, daremos los arcos compuestos.

Estas identidades, se conocen como auxiliares, pues nos ayudan a resolver problemas trigonométricos, descomponiéndolos en formas trigonométricas más simples, que nos facilitarán la tarea.

Vamos a mostrar aquí las principales que se usan:

Lo que está en azul es lo que tenéis que memorizar, aunque basta decir que para los pasos previos hemos utilizado identidades para poder resolver ese producto (mirar en esta misma web para encontrarlas).

En la formula anteriormente descrita, un truquillo, vemos que, se trata de una suma por una diferencia, por tanto, nos acordamos que es igual a una diferencia de cuadrados. Como es lógico, no es exactamente igual, ya que tenemos al final un seno y un coseno al cuadrado, pero así ya nos acordamos más fácil.

La siguiente formula es casi igual a la anterior, si os fijáis, al principio los numeradores son exactamente iguales, y los denominadores son senos.

**Nota**: En los casos de los cocientes, se han expuesto dos identidades en una misma fórmula, gracias a la combinación del doble signo más /menos, es decir, por ejemplo, en esta última identidad, si quisiésemos hacer cos(x+y) tendríamos que usar los +, mientras que si quisiésemos aplicar la resta, utilizaríamos el signo negativo.

>>Ejemplo:

Reducir la siguiente ecuación lo máximo posible:

Lo que aquí debemos hacer es aplicar las identidades antes mencionadas, en este caso, vemos ese sen(x+y) . Queda, una vez sustituido:

Como observamos, el resultado final es tgx.

Para todos los demás ejercicios, deberéis proceder de igual manera, sustituyendo cuando podáis por las formulas antes descritas.

¡¡Nos leemos en la siguiente lección!!

Una serie de Dirichlet es aquella que cumple:

donde s y an son números complejos, con n=1,2,3,4…

Dicho de una forma más clara, para qué sirve esto de las series de Dirichlet, se usan para intentar demostrar que:

Con a y b números primos relativos (no tienen otro divisor común más que 1 y -1, vamos, que son primos solamente entre sí), se puede encontrar un número infinito de números primos.

Esta hipótesis viene reflejada en la primera formula, pero dicho de una forma más práctica.

Se usan sobretodo en la Teoría Analítica de Números, además de otras áreas fuera de este campo. Quizás la más conocida aportación sea la definición de la zeta de Riemann, la cual es una serie de Dirichlet.

Lo que se busca es saber cuándo una serie converge de forma absoluta, es decir:

1º) Hay un número extendido real L tal que:

Que cumple la propiedad de las series e Dirichlet, mencionada al principio:

2º) Converge de forma absoluta para Re (s) >L, pero no para Re(s)<L.

Dicho de otro modo, para cualquier ∈>0, la convergencia es uniforme en:

Así que la serie representa una función holomorfa para todo Re(s)>L

Vamos a profundizar un poco más en la relación con la función de Riemann:

De acuerdo a este teorema, si s es una variable compleja tal que:

en donde σ y t son números reales.

Entonces:

Con esto se prueba que:

Puesto que:

para θ real.

Una identidad matemática es un tipo de igualdad matemática, entre expresiones algebraicas que se verifica para cualquier valor de alguna variable de todas las que intervienen en la expresión. No es más que el comportamiento de dichas expresiones, como van a reaccionar ante cualquier valor que queramos estudiar, podríamos decir, hablando de modo figurado, que es la “personalidad” que poseen unas expresiones algebraicas concretas.

Un ejemplo sencillo:

ax + bx = x(a+b)

Es una identidad ya que, cualesquiera que sean los valores de a, b y x, la igualdad que escribimos más arriba se cumplirá siempre. Entonces si lo ponemos en números:

a= 1, b=2 y x=3

ax + bx = x (a+b) -> 1.3 + 2.3 = 3 (1+2) -> 3 + 6 = 3.3 -> 9=9

Por tanto, la igualdad se cumple.

Sin daros cuenta habréis visto montones de estas identidades, cuando estudiasteis las funciones algebraicas y sus propiedades (distributiva, conmutativa, asociativa, etc.), aquí simplemente se les da un nombre concreto a este fenómeno.

Voy a poner unos cuantos ejemplos más para que podáis observar que siempre es lo mismo, lo único que va a ir cambiando son las expresiones, pero el concepto es común para todas ellas: constantemente se cumplen lo que recen ambos lados de la igualdad. Tienen como función primordial hacer más sencilla una expresión que, de otra forma, nos resultaría compleja.

>>Ejemplos:

Así podemos saber, que la suma por diferencia de los binomios, es la diferencia al cuadrado de los términos b y a, sin necesidad de ir multiplicando uno por uno.

Resolvamos lo de arriba sin saber que es una identidad:

De esta forma, aunque es correcta, perdemos un valioso tiempo que ahorraríamos de conocer esa identidad, vamos, que pensad en los pobres matemáticos que se rompieron el coco para que vosotros conocieseis estas identidades, que no se diga que fue en vano.

Bromas aparte, no debemos olvidarnos de las identidades trigonométricas (las que usan senos y cosenos), que es más de lo mismo pero referido a ángulos. Os dejo un par de ejemplos abajo:

Estas incluso son más útiles, pues nos quitan de hacer engorrosos cálculos. No voy a decir de donde salen, pues para ello ya tenemos un tema referido a esto.

Lo que sí os voy a explicar es lo siguiente, estamos de acuerdo en que, para que una identidad se cumpla, ha de cumplirse la igualdad planteada para cualquier valor, pero ¿Qué sucedería si, para un cierto valor, esa igualdad no se cumpliese? ¿Estaríamos ante una identidad? Retomemos el ejemplo anterior:

En este caso se cumple siempre, ya que, sean cuales sean los valores de a y b, la diferencia de sus cuadrados siempre va a ser igual a la suma por diferencia.

Esto es una ecuación de segundo grado, para ella, encontramos dos soluciones:

x=1 y x=2

Si probamos con cualquier otro valor, por ejemplo 5, pasa lo siguiente:

Con x=1 sin embargo:

**Pista: Si tenéis dudas de si una solución es correcta, sustituidla en la ecuación, para ver si cumple la igualdad.

Aquí me quedo con ésta introducción a las identidades matemáticas, nos vemos en otro artículo de laguia2000.

Las integrales de Fresnel, denotadas como S(x) y C(x), son dos funciones trascendentes (no algebraicas), que son empleadas para el cálculo de ondas en física, entre otros campos. Se definen mediante las siguientes expresiones integrales:

Estas dos integrales se pueden expresar en forma de potencias, que convergen para todo x:

Propiedades:

a) C(x) y S(x) son funciones impares de x

b) Se pueden extender al dominio de los números complejos gracias a las expansiones en series de potencias expresadas anteriormente. Obteniendo así funciones analíticas de una variable compleja.

c) Se pueden expresar usando la función error, quedándonos la siguientes expresiones:

d) No es posible evaluar las integrales que definen S(x) y C(x) en un intervalo cerrado, por lo que los límites de estas funciones, cuando x tiende a infinito son:

Casos particulares:

S (0)=C (0) = 0

Ejemplo:

>> Resuelve la siguientes integrales de Fresnel:

Como función a estudiar vamos a tomar la siguiente:

Y cuyo recinto es:

Aplicando el teorema de residuos, y considerando que no encontramos ningún cero en dicho recinto, tenemos que:

Ahora procedemos a trabajar la segunda integral:

Con lo que nos queda que en AB:

Lo que nos queda por hacer es calcular la última integral, procedemos así:

Por tanto:

**Nota: En este caso nos aparece una integral de Euler, pero como no es el tema a tratar, simplemente continuaremos resolviendo:

Y así se termina el ejercicio, muchas gracias por su atención.

La función error, también denominada como función error de Gauss, es una función que podemos encontrar en distintos campos como: estadística, probabilidad (la famosa campana de Gauss) y las ecuaciones diferenciales parciales (cuyas aplicaciones son tan variopintas como el cálculo de la difusión de la sal en agua). La expresión es la siguiente:

Propiedades

1) Es una función impar, es decir, no-simétrica:

2) Para todo número complejo, se verifica que:

Siendo x* el conjugado de x, es decir:

x= a + bi

x*=a – bi

3) Hay casos, en los que nos encontramos con funciones difíciles de integrar, como e^(-t2), que no se puede hacer de forma directa. En esos casos debemos usar una expansión de la función, por medio de una serie de Taylor, obtendremos, como es lógico, la serie de Taylor de la función error:

4) Existe una relación simple entre la Función Error y la Función Distribución para una variable aleatoria (con media “μ” y desviación típica “σ”):

Un uso de esta función, se da cuando, teniendo una distribución normal (desviación típica σ y esperanza 0), entonces:

Que es la probabilidad de que el error de una mediación individual se encuentre comprendido en el intervalo –x y +x.

>>Ejemplo:

Según un estudio, la altura de los varones de cierta ciudad es una variable aleatoria X, que podemos considerar que se distribuye según una Ley Gaussiana de valor esperado μ=175cm y desviación típica σ = 10cm. Dar un intervalo para el que tengamos asegurado que el 50% de los habitantes de la ciudad estén comprendidos en él.

Solución:

Tenemos que

Lo que buscamos es el intervalo que nos asegure que el 50% de los habitantes tengan alturas comprendidas en el. Debemos encontrar un intervalo que esté centrado en la media, y que, además, sea el más pequeño posible (y contenga al mencionado 50% de la muestra).

Como se distribuye según las leyes gaussianas, la probabilidad estará concentrada en su mayor parte en la media. Entonces, tomaremos un intervalo que contenga un 25% de probabilidad del lado izquierdo más próximo a la media y un 25% del lado derecho, quedando una figura así:

Estos valores se pueden buscar en una tabla de distribución normal, tipificándolos primero, para volver a destipificarlos después

donde

Buscamos el valor en tabla, z_0,75 , y se destipifica:

Similarmente se calcularía

donde

Por la simetría de la distribución normal con respecto al origen, tenemos que z_0,25= – z_0,75. Entonces:

En conclusión:

El 50% de la población tiene un peso comprendido en el intervalo [168,25,181,75], que es simétrico respecto a la media, y es el más pequeño de todos los posibles (es más preciso).

Para empezar, citemos el teorema:

Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad.

¿Qué cosa tan rara dicen verdad? Suena a chino. Vamos a desgranarlo:

Supongo que a estas alturas, seguidores fieles del blog, sabréis lo que es un polinomio. En caso contrario, ir a la lección sobre polinomios, y a refrescar la memoria se ha dicho.

Como soy muy bueno, os dejo aquí un ejemplo de polinomio, pero que no se repita otra vez eh!:

Pues ese polinomio, es real ( y complejo, pues tiene más de cuatro términos), y además, posee un total de tres raíces (soluciones), como se puede apreciar una vez simplificado, que son 3 y -3.

Generalizando:

Que podemos factorizar como:

Simplemente hemos sacado factor común an y lo multiplicamos por (x-zn), siendo z = x^n.

Os voy a poner un ejemplo, para veáis la aplicación gráfica del teorema:

>> Ejemplo:

Encontrar la solución de la siguiente ecuación: y=2x+1

Para poder encontrar las soluciones reales, debemos cruzar esa recta con el eje x, esto implica hacer y=0:

Para este caso en concreto, vemos que esta ecuación, solo tiene una única solución, -1/2.

Según el teorema, si el grado es impar, tenemos al menos una raíz real.

Para entenderlo, vamos a reescribirlo de esta manera:

Un polinomio de grado n impar admite al menos una raíz real. Si existe una raíz compleja de un polinomio, entonces existe su raíz compleja conjugada

En el ejemplo anterior, era una ecuación de grado uno (mirad el exponente de las x), por lo que el número mínimo de raíces va a ser 1. Lo cual no quiere decir que tenga que haber solamente una raíz, puede haber más, pero siempre será ese mínimo.

Cuando se habla de raíces en matemáticas, se refiere a todo elemento de una función f(x) tal que:

La raíz también puede referirse a un número de la forma:

Que no es otra cosa que la raíz de un polinomio de la forma: (x^n )–a. Un ejemplo de ello sería la raíz cuadrada, la raíz cúbica, etc.

Es necesario destacar que, dichas soluciones, se deben encontrar dentro de un rango posible, que llamamos Dominio de la función. Dicho domino, puede comprender tanto los números reales como los irracionales.

Veamos un ejemplo gráfico:

Llamemos a está curva: y=f(x)

En ella vemos, que para cada valor de x (eje de abscisas, el horizontal) le corresponde un valor de y (eje de ordenadas, el vertical). La curva toma pues, diferentes valores con cada nueva variable que añadimos. Pero observamos que, hay casos, en los que la función corta al eje x. Eses “cortes” son debido a que allí la función vale cero, o siendo más concretos, que el valor de “y” es cero. ¿Por qué? Miren arriba en el ejemplo. Cuando “y” es cero, “x” vale 1, como veis, cuando la curva corta al eje equis en el punto 1, no existe ningún número en el eje de las íes para unirlo con el equis, esto significa que la función vale cero. No quiere decir que no exista. ¿Acaso no la veis? ¿Claro que si verdad? está ahí, solo que en ese punto 1 en concreto.

Para entenderlo mejor, mirémoslo del revés, pensemos que tenemos un valor de “y”, -1, y para este caso equis vale cero. Como observáis, la función no desaparece, simplemente, sigue en línea recta por ese punto solamente.

Tenéis que pensar en las raíces como los puntos de referencia de las funciones, ya que, puede ser difícil conocer todos los puntos, pero sin los puntos de corte con los ejes, o raíces de la función, es imposible representarlas. Esto os va a venir bien cuando os pongan ejercicios y os pidan dibujar una función, por lo que ya sabréis, que para hallar los puntos de corte, os acordáis de que son las raíces de la función, es decir, cuando la función se hace cero.

Este método es usado en el análisis numérico, para encontrar las raíces de una función, mediante iteracciones.

Tiene ciertas ventajas frente a otros métodos, como por ejemplo, que no necesitamos saber la primera derivada (newton) y se procede independientemente a los signos de la función (a diferencia del método de la regla falsa). Además, tiene un gran índice de aciertos, al considerar solamente dos puntos al principio.

Se basa en ir trazando rectas secantes a la curva de la función buscada, y se va comprobando la intersección de estas con el eje x para ver si es la raíz que buscamos.

Es por tanto necesario el conocimiento de dos valores,

Seguramente nos den un ∈ y nos pedirán que aproximemos la raíz hasta que sea menor a éste.

Como veis es muchísimo más sencillo que los anteriores, tan solo hemos hallado el valor de la función en 2 puntos, hemos sustituido en la fórmula de la secante, y comprobamos nuestros error aproximado. Hay que destacar, que dicha función es una aproximación que se hace a la primera derivada, ahorrándonos el cálculo de ésta, que si os fijáis, no es nada más y nada menos que la pendiente que une los dos puntos a considerar.

>>Ejemplo:

Usar el método de la secante para aproximar la raíz de:

Comenzando con x0=0 y x1=1, y hasta que |Ea|<1%

Procedemos a resolver el ejercicio:

1º) Sustituimos los valores de x en la función:

f(x0)=1

f(x1)= -0.632120558

2º) Sustituimos, en la fórmula de la secante esos valores, para calcular la primera aproximación, que denotamos como x2:

3º) Calculamos el error aproximado:

4º) Todavía no cumplimos nuestro objetivo, así que nos tocaría repetir el proceso de nuevo desde el paso 1, usando x1 y x2 en vez de x0, hallando un nuevo punto, que llamaríamos x3, y así sucesivamente.

A continuación os pego la tabla con los resultados. La primera columna son los “x”, y la segunda los errores relativos (Ea).

Por tanto, concluimos que la aproximación de la raíz es x4=0.652917265 con un |Ea|=0.08%